После окончания МИИТа по специальности «Мосты и тоннели» 6 октября 1971 года Сергей Григорьевич Елгаев был принят на должность начальника смены в СМУ № 151 Метростроя и проделал путь до генерального директора АО «Трансинжстрой» – одной из крупнейших организаций Министерства транспортного строительства СССР.
Сергей Елгаев лауреат Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники, член Академии горных наук, Российской академии транспорта, Петровской академии наук и искусств. По его инициативе в 2013 году была создана кафедра «Транспортные тоннели и метрополитены» в Российском университете транспорта (МИИТ).
Его многолетний, добросовестный труд по достоинству отмечен множеством государственных и ведомственных наград. Среди них – почетное звание «Заслуженный строитель РФ», ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, ордена «За заслуги перед Отечеством» III степени, «За заслуги перед Отечеством» IV степени, «Знак Почета», знаки «Почетный транспортный строитель», «Почетный строитель России».
На сегодняшний день, находясь на ответственной должности председателя Совета директоров АО «Мосметрострой», Сергей Григорьевич занимается стратегическим развитием и обеспечивает контроль за финансово-хозяйственной деятельностью компании.
Сергей Елгаев вместе с генеральным директором АО «Мосметрострой» Сергеем Жуковым во время церемонии открытия музея компании.